Асимптотика вероятности продолжения ограниченного снизу марковского критического ветвящегося процесса с непрерывным временем и бесконечной дисперсией

Пусть $\mu(t)$ – число частиц в момент времени $t$ в критическом ветвящемся процессе с непрерывным временем. Известно, что при $t\to\infty$ вероятность продолжения процесса
$$ Q(t)=\boldsymbol{\mathsf P}\{\mu(t)>0\mid\mu(0)=1\}\to0. $$
Отсюда следует, что
$$ Q_{m0}=\boldsymbol{\mathsf P}\{\mu(t)>0\mid\mu(0)=m\}\sim mQ(t)\to0 $$
при любом $m=2,3,\dotsc$ При любых целых $m>r\geq1$ введем обозначения
$$ Q_{mr}(t)=\boldsymbol{\mathsf P}\{\inf_{0\leq u\leq t}\mu(u)>r\mid\mu(0)=m\}. $$
В статье доказывается, что при $t\to\infty$ имеет место асимптотика
$$ Q_{mr}(t)\sim (m-r)Q(t) $$
для любого критического марковского ветвящегося процесса с непрерывным временем. Ранее этот результат был доказан для ветвящихся процессов с конечной дисперсией числа частиц.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 05.01.00035, и программы Президента Российской Федерации для поддержки ведущих научных школ, грант НШ-1758.2003.1.