О перманентах случайных дважды стохастических матриц и асимптотических оценках чисел латинских прямоугольников и латинских квадратов

Рассматривается класс $\mathfrak A_n(k)$ всех $(0,1)$-матриц $A_k$ размера $n\times n$, имеющих в каждой строке и каждом столбце ровно $k$ единиц, $k=1,\dots,n$. Доказывается асимптотическая формула для $\operatorname{per}A_k$, справедливая при $n\to\infty$ и ${0<n-k=o(n/\ln n)}$ равномерно относительно $A_k\in\mathfrak A_n(k)$. Обсуждаются известные оценки сверху и снизу для чисел латинских прямоугольников размера $m\times n$ и латинских квадратов размера $n\times n$, в том числе их асимптотические выражения при $n\to\infty$ и $m=m(n)$. Отмечается, что известная гипотеза О'Нейла об асимптотике числа латинских квадратов справедлива в усиленной форме. Формулируются новые гипотезы такого типа, из которых выводятся асимптотические оценки для чисел латинских прямоугольников и латинских квадратов, улучшающие ранее известные результаты. В заключение приводится краткий обзор литературы по затронутым в статье темам с формулировками основных результатов.