Равномерно распределенные последовательности целых $p$-адических чисел

В статье описаны эргодические относительно меры Хаара функции на кольце $Z_p$ целых $p$-адических чисел, принимающие значения в $Z_p$ и удовлетворяющие (по крайней мере, локально) условию Липшица с коэффициентом 1. Также описаны равновероятные (в частности, сохраняющие меру Хаара) функции из указанного класса. В некоторых случаях (особенно при $p=2$) описание дается в виде явных формул. Некоторые результаты могут быть интерпретированы как описание эргодических изометричных динамических систем на $p$-адическом единичном диске. Исследование мотивировано задачей построения псевдослучайных генераторов для компьютерного моделирования и криптографии. С этой точки зрения результаты статьи могут рассматриваться как описания нелинейных конгруэнтных генераторов по модулю $m$, генерирующих строго периодические равномерно распределенные по модулю $m$ последовательности максимально возможного (то есть равного $m$) периода. В качестве функций выхода и перехода таких генераторов можно выбирать, например, мероморфные на $Z_p$ функции (в частности, полиномы с рациональными, но не обязательно целыми коэффициентами), или композиции арифметических операций (сложения, умножения, экспоненцирования, возведения в степень с целым, в том числе отрицательным показателем) и стандартных компьютерных команд, типа поразрядных логических операций (например, $\mathtt{XOR}$, $\mathtt{OR}$, $\mathtt{AND}$, $\mathtt{NEG}$). Изучается и линейная сложность таких последовательностей.