О переключениях ориентаций графов

Пусть каждой вершине конечного ориентированного графа сопоставлено конечномерное линейное пространство, а каждой стрелке — линейное преобразование соответствующего пространства. Такие объекты называются линейными представлениями графов. Они естественно возникают в некоторых разделах алгебры и активно изучаются в последние тридцать лет. Заменяя все стрелки, входящие в вершину-сток на противоположные, получим новый орграф. Эти два орграфа родственны тем, что задачи классификации их представлений, как показали И. Н. Бернштейн, И. М. Гельфанд и В. А. Пономарев, эквивалентны друг другу. Две ориентации называются эквивалентными, если одна получается из другой последовательностью описанных преобразований. В теории представлений орграфов наиболее интересны бесконтурные ориентации. В этой заметке указывается простой критерий эквивалентности бесконтурных ориентаций. Доказано, что две ориентации эквивалентны тогда и только тогда, когда равны некоторые интегралы от этих ориентаций.