Финальные вероятности для модифицированных ветвящихся процессов

Модифицированный ветвящийся процесс $\mathcal B^*$ строится с помощью двух процессов Гальтона–Ватсона $\mathcal B_0$ и $\mathcal B_1$ и фиксированного конечного множества натуральных чисел $S$. Число частиц $\mu^*(t)$ в процессе $\mathcal B^*$ в моменты $t=0,1,2,\dots$ эволюционирует следующим образом. Если $\mu^*(t)\in S$, то каждая из $\mu^*(t)$ частиц независимо друг от друга дает в следующем поколении потомство по закону ветвящегося процесса $\mathcal B_1$, а если $\mu^*(t)\notin S$, то размножение частиц происходит по закону процесса $\mathcal B_0$. Пусть наряду с активными размножающимися частицами в процессах $\mathcal B_0$ и $\mathcal B_1$ появляется также случайное количество финальных частиц, которые в дальнейшем не участвуют в эволюции процесса, а накапливаются и составляют при вырождении процесса некоторую финальную величину $\eta_n$, где $n$ — начальное число активных частиц. Известно, что в критическом ветвящемся процессе при некоторых условиях распределение случайной величины $\eta_n/n^2$ при $n\to\infty$ сходится к устойчивому закону распределения с параметром $\alpha=1/2$. В настоящей работе показано, что это свойство распределения числа финальных частиц сохраняется и в модифицированном ветвящемся процессе $\mathcal B^*$. Показано также, что в этой предельной теореме число финальных частиц можно заменить на некую финальную неотрицательную случайную величину $\eta_n$, характеризующую финальное состояние ветвящегося процесса.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, гранты 99–01–00012, 00–15–96136 и фонда INTAS–RFBR, грант 99–01317.