Об асимптотических разложениях для распределения числа циклов в случайной подстановке

Получены явные формулы, определяющие коэффициенты асимптотических разложений в области больших уклонений для распределения числа циклов $\nu_n$ в случайной равновероятной подстановке степени $n$, то есть вероятности $\mathsf P\{\nu_n=N\}$ при условии, что $n,N\to\infty$ так, что
$$ 1<\alpha_0\le\alpha=\frac nN\le\alpha_1<\infty, $$
где $\alpha_0$, $\alpha_1$ — постоянные. Эти формулы выражают указанные коэффициенты через кумулянты случайной величины, имеющей распределение логарифмического ряда со специальным образом выбранным параметром. Для кумулянтов третьего и четвертого порядков приведены соответствующие значения. Обсуждается вопрос о точности полученных аппроксимаций. В случае, когда $n,N\to\infty$ так, что
$$ 0<\gamma_0\le\gamma=\frac N{\ln n}\le\gamma_1<\infty, $$
где $\gamma_0$, $\gamma_1$ — постоянные, выведены асимптотические оценки вероятностей $\mathsf P\{\nu_n=N\}$, $\mathsf P\{\nu_n\le N\}$, $\mathsf P\{\nu_n\ge N\}$ с остаточным членом порядка $O((\ln n)^{-2})$, справедливые равномерно относительно $\gamma\in[\gamma_0,\gamma_1]$. Соответствующая оценка вероятности $\mathsf P\{\nu_n=N\}$ улучшает ранее известные результаты для случая, когда
$$ N=\beta\ln n+o(\ln n), $$
где $\beta$ — положительная постоянная.