О задаче В. Г. Спринджука

В статье рассматриваются оценки функции
$$ S(t)=\prod_{p\mid t} p, $$
бесквадратной части натурального аргумента $t$. В. Г. Спринджуком была поставлена следующая задача: существует ли постоянная $c>0$ такая, что для бесконечно многих пар натуральных чисел $n$ и $k$, удовлетворяющих условию $k<\ln^cn$, справедливо неравенство
$$ S((n+1)\ldots (n+k))<k^k? $$
В статье доказана следующая теорема. Существуют положительные постоянные $c_7,\ldots,c_{10}$ такие, что при $n\geq c_7$
$$ S((n+1)\ldots (n+k))\geq p_1\ldots p_{s(k)},\quad s(k)=k+[c_8k/\ln(2k)], $$
если $1\leq k\leq c_9\sqrt{n/\ln n}$;
$$ S((n+1)\ldots (n+k))<p_1\ldots p_k, $$
если $k\geq c_{10}\sqrt{n/\ln n}$. В статье получен ряд других оценок функции $S(t)$, а также рассмотрены некоторые предположения и их следствия, связанные с $S(t)$.