О числе решений уравнения $(x_1+\ldots+x_n)^m=ax_1\ldots x_n$ в конечном поле

Рассматривается уравнение
$$ (x_1+\ldots+x_n)^m=ax_1\ldots x_n, $$
где $a$ — ненулевой элемент конечного поля ${\mathbf F}_q$, $n\ge2$, и $m$ —натуральное число. Получена точная формула для числа решений этого уравнения в $\mathbf F_q^n$ при условии, что $d\in\{1,2,3,6\}$, где $d$ — наибольший общий делитель чисел $m-n$ и $q-1$. Формулы для числа решений при произвольном $d>2$ получены, если существует натуральное $l$ такое, что $d\mid(p^l+1)$, где $p$ — характеристика $\mathbf F_q$.