Локальная асимптотика вероятностей нижних уклонений строго надкритических ветвящихся процессов в случайной среде с геометрическими распределениями чисел потомков

Рассматриваются вероятности нижних уклонений ветвящегося процесса $Z_{n} = X_{n, 1} + \dotsb + X_{n, Z_{n-1}}$ в случайной среде $\boldsymbol\eta$, представляющей собой последовательность независимых одинаково распределенных величин. В предположении, что случайные величины $X_{i,j}$ при фиксации среды имеют геометрические распределения, а приращения $\xi_i$ сопровождающего случайного блуждания имеют среднее $\mu > 0$ и удовлетворяют левостороннему условию Крамера ${{\mathbf E}\exp(h\xi_i) < \infty}$ при $h^{-}<h<0$ для некоторого $h^{-} < -1$, найдена асимптотика локальных вероятностей ${\mathbf P}( Z_n = \lfloor\exp(\theta n)\rfloor )$, $n\to\infty$, при $\theta \in (\max(m^{-},0);m(-1))$, а также в некоторой окрестности $m(-1)$, где $m^{-}$ и $m(-1)$ — некоторые константы.