Многомерные последовательности Кронекера с малым числом длин промежутков

В последнее время обобщения классической теоремы о трех промежутках на многомерный случай привлекают много внимания. В частности, были получены верхние оценки для числа минимальных расстояний до ближайшего соседа в евклидовой и максимальной метриках. Было доказано, что в общем многомерном случае максимальное возможное число различных длин промежутков достигается для любой субэкспоненциальной последовательности. Здесь получено «зеркальное» утверждение для размерностей $d \in \left\{ 2, 3 \right\}$: построены последовательности Кронекера с удивительно малым числом различных расстояний до ближайшего соседа для бесконечно многих значений $N \in \mathbb{N}$ их длин. Доказательства основаны на свойствах цепных дробей.