Максимально нелинейные функции над конечными полями

Функция от $n$ переменных над полем $\mathbf {F}_q$ из $q$ элементов называется максимально нелинейной, если она обладает наибольшей нелинейностью среди всех $q$-значных функций от $n$ переменных. Доказано, что при четном $n \ge 2$ функция является максимально нелинейной тогда и только тогда, кода ее нелинейность равна $q^{n-1}(q~-~1)~-~q^{\frac n2-1}$, а при $n=1$ в качестве критерия выступает значение нелинейности $q-2$. Для $q>2$ и четного $n \ge 2$ описаны все максимально нелинейные квадратичные функции и найдено их число. При этом все максимально нелинейные квадратичные функции являются квадратичными бент-функциями и составляют менее половины последних.