Асимптотика локальных вероятностей нижних уклонений ветвящегося процесса в случайной среде при геометрических распределениях чисел потомков

Рассматриваются вероятности нижних уклонений ветвящегося процесса $Z_{n} = X_{n, 1} + \dotsb + X_{n, Z_{n-1}}$ в случайной среде $\eta$, представляющей собой последовательность независимых одинаково распределенных величин. В предположении, что случайные величины $X_{i,j}$ при фиксации среды имеют геометрические распределения, а приращения $\xi_i$ сопровождающего случайного блуждания имеют среднее $\mu > 0$ и удовлетворяют левостороннему условию Крамера ${\mathbf E}\exp(h\xi_i) < \infty$ при $h^{-}<h<0$, где $h^{-} < -1$, найдена асимптотика локальных вероятностей ${\mathbf P}\left( Z_n = \lfloor\exp\left(\theta n\right)\rfloor \right)$ при $\theta \in [\theta_1,\theta_2] \subset (\mu^-;\mu)$ для некоторого неотрицательного $\mu^-$.