Распределение объёма наибольшей компоненты случайного $A$-отображения

Пусть $\mathfrak S_n$ — полугруппа отображений множества $X$ из $n$ элементов в себя. Рассматривается совокупность $\mathfrak S_n(A)$ отображений из $\mathfrak S_n$, объёмы контуров которых принадлежат множеству $A\subseteq N=\{1,2,\ldots\}$. Эти отображения принято называть $A$-отображениями. Пусть случайное отображение $\tau_n$ имеет на $\mathfrak S_n(A)$ распределение с весами $\vartheta_i\geq 0$ связных компонент объёма $i\in N$. Предполагается, что если $i\to\infty$, то $\vartheta_i\to\vartheta>0$ при $i\in D\subset N$ и $\vartheta_i\to0$ при $i\in N\setminus D$. Пусть $\mu(n)$ — объём максимальной по размеру компоненты случайного отображения $\tau_n$. Для некоторых классов множеств $A$ и $D$, имеющих асимптотические плотности $\varrho>0$ и $\rho>0$ в $N$, показано, что случайная величина (с.в.) $\mu(n)/n$ слабо сходится при $n\to\infty$ к с.в. $\nu$, распределение которой совпадает с предельным распределением соответствующей характеристики в схеме Эвенса случайной подстановки с параметром $\rho\varrho\vartheta/2$.