О вероятностях больших уклонений статистики Шеппа

Для статистики Шеппа, равной максимуму колебаний случайного блуждания ${S_n=\sum_{i=1}^n\xi_i}$ в окне ширины $L$, когда это окно перемещается в пределах отрезка $[1,2L]$, получена асимптотика при $L\to\infty$ вероятности больших уклонений $\boldsymbol{\mathsf P}(W_{L,L}\geq\theta L)$, где $\theta$ — постоянная. Предполагается, что $\xi_1,\xi_2,\ldots$ — независимые одинаково распределенные случайные величины с нерешетчатым распределением, удовлетворяющим правостороннему условию Крамера. Показано, что асимптотика имеет вид $H_\theta L\boldsymbol{\mathsf P}(S_L\geq\theta L)$, где $H_\theta$ — зависящая от $\theta$ постоянная, $0<H_\theta<1$.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 01–0100–649.