Предельная теорема для логарифма порядка случайного $A$-отображения

Пусть $\mathfrak S_n$ — полугруппа отображений множества из $n$ элементов в себя, $A$ — некоторое фиксированное подмножество множества натуральных чисел $\mathbb{N}$, $V_n(A)$ — множество отображений из $\mathfrak S_n$, размеры контуров которых принадлежат множеству $A$. Отображения из $V_n(A)$ принято называть $A$-отображениями. Предполагается, что множество $A$ имеет асимптотическую плотность $\varrho>0$, причём $|k:k\leq n,\ k\in A,\ m-k\in A|/n\to\varrho^2$ при $n\to\infty$ равномерно по $m\in[n,Cn]$ для произвольной постоянной $C>1$. Порядком отображения $\alpha\in\mathfrak S_n$ называется число различных элементов в последовательности $\{\alpha,\ \alpha^2,\ \alpha^3,\dots\}$. Через $M(\alpha)$ обозначим порядок отображения $\alpha$. Рассмотрим случайное отображение $\sigma=\sigma_n(A)$, равномерно распределённое на $V_n(A)$. В настоящей статье показано, что случайная величина $\ln M(\sigma_n(A))$ асимптотически нормальна со средним $l(n)=\sum_{k\in A(\sqrt{n})}\ln(k)/{k}$ и дисперсией $\varrho\ln^3(n)/24$, где $A(t)=\{k:\ k\in A,\ k\leq t\},\ t>0$. При $A=N$ отсюда следует ивестный результат Б. Харриса (1973).