Решение системы полиномиальных уравнений над кольцом Галуа–Эйзенштейна с помощью канонической системы образующих полиномиального идеала

Кольцом Галуа–Эйзенштейна или GE-кольцом названо конечное коммутативное цепное кольцо $R$. Для перечисления всех решений системы полиномиальных уравнений над $R$ сначала рассматривается общий метод покоординатной линеаризации, сводящийся к решению системы полиномиальных уравнений над соответствующим полем вычетов $\bar{R}=\mathit{GF}(q)$ и последующему решению серии систем линейных уравнений над тем же полем. Затем, в произвольном полиномиальном идеале кольца $R[x_1,\ldots,x_k]$ строится стандартный базис специального вида, называемый канонической системой образующих (КСО), и вместо исходной системы предлагается решать систему полиномиальных уравнений, в левой части которой стоит КСО идеала, порожденного исходными многочленами. Для получающихся систем уравнений специального вида предлагается модификация метода покоординатной реализации.
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований, гранты 02–01–00218 и 02–01–00687, и грантами НШ-2358.2003.9 и НШ-1910.2003.1 Президента РФ для поддержки ведущих научных школ.