Образы конечного множества при итерациях двух случайных зависимых отображений

Пусть $\mathcal{N}$ — множество из $N$ элементов и $\left(F_1,G_1\right),\left(F_2,G_2\right),\ldots$ — последовательность независимых пар таких случайных зависимых отображений $\mathcal{N}\to\mathcal{N}$, что $F_k$ и $G_k$ — случайные равновероятные отображения и $\mathbf{P}\{F_k(x)=G_k(x)\}=\alpha$ для любого $x\in \mathcal{N}$ и всех $k=1,2,\ldots$ Для подмножества $S_0\subset \mathcal{N}$, $|S_0|=n$, рассматриваются последовательности его образов $S_k=F_k(\ldots F_2(F_1(S_0))\ldots)$, $T_k=G_k(\ldots G_2(G_1(S_0))\ldots)$, $k=1,2\ldots$, и последовательности их объединений $S_k\cup T_k$ и пересечений $S_k\cap T_k$, $k=1,2\ldots$ Получены двусторонние неравенства для $\mathbf{M}|S_k\cup T_k|$ и $\mathbf{M}|S_k\cap T_k|$, в которых верхние оценки асимптотически эквивалентны нижним, если $N,n,k\to\infty$, $nk=o(N)$ и $\alpha=O\left(\tfrac1N\right)$.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-50-00005).