Конечные автоматы и числа

Изучаются конечно-автоматные представления числовых колец, которые возникают при рассмотрении класса линейных $p$-адических автоматов, вычисляющих однородные линейные функции с рациональными коэффициентами в кольце целых $p$-адических чисел. Конечные автоматы выступают как в роли элементов колец, так и в качестве операций. Кроме того, изучаются свойства диаграмм переходов линейных $p$-адических автоматов, реализующих функцию одной переменной $f(x)=cx$. В частности, найдены точные значения для числа их состояний и показано, что при $c>0$ их диаграммы обладают свойством, называемым самодвойственностью, обобщающим соответствующее понятие для булевых функций. Также получен критерий того, что автомат, реализующий функцию $f(x)=cx$, является перестановочным, и для всех таких автоматов полностью описаны группы, являющиеся их внутренними полугруппами.