Об асимптотически свободном действии групп перестановок на подмножествах и мультимножествах

Пусть $G$ – группа перестановок, действующая на конечном множестве $\Omega$ мощности $n$. Для числа орбит индуцированного действия $G$ на множестве $\Omega_m$ всех подмножеств $\Omega$ мощности $m$ имеют место тривиальные оценки $|\Omega_m|/|G|\leq|\Omega_m/G|\leq|\Omega_m|$. В статье даны улучшения верхней оценки в терминах минимальной степени группы $G$ или минимальной степени ее подмножества, дополнение которого мало. В частности, с использованием универсальных оценок Бохерта для минимальной степени группы и Бабаи–Пибера для порядка группы в терминах одного лишь $n$ показано, что если $G$ – произвольная $2$-транзитивная группа, за исключением симметрической и знакопеременной, $m$ и $n$ велики и отношение $m/n$ отделено от $0$ и $1$, то $|\Omega_m/G|\approx|\Omega_m|/|G|$.
Аналогичные результаты верны для индуцированного действия $G$ на множестве $\Omega_{(m)}$ всех мультимножеств $\Omega$ веса $m$, если отношение $m/(m+n)$ равномерно отделено от $0$ и $1$.