Закон больших чисел для перманентов случайных матриц

Рассматривается класс случайных матриц $C=(c_{ij})$, $i,j=1,\dots,N$, элементы которых – независимые случайные величины, имеющие одинаковое распределение, совпадающее с распределением случайной величины $\xi$, для которой $\boldsymbol{\mathsf E}\xi^2>0$. Как обычно, $\operatorname{per}C$ обозначает перманент матрицы $C$. В схеме серий, когда $\xi=\xi_N$, $\boldsymbol{\mathsf E}\xi_N\neq0$ при $N=1,2,\ldots$ и $\boldsymbol{\mathsf D}\xi_N=o((\boldsymbol{\mathsf E}\xi_N)^2)$ при $N\to\infty$, доказывается, что последовательность случайных величин $\operatorname{per}C/(N!\,(\boldsymbol{\mathsf E}\xi_N)^N)$ сходится по вероятности к единице при $N\to\infty$. Аналогичный результат устанавливается и в более общем случае, когда строки матрицы $C$ – независимые $N$-мерные случайные векторы, имеющие одинаковое распределение, совпадающее с распределением некоторого случайного вектора $\mu$, компоненты которого одинаково распределены, но, вообще говоря, зависимы. Приводятся достаточные условия справедливости закона больших чисел для последовательности $\operatorname{per}C/\boldsymbol{\mathsf E}\operatorname{per}C$ в случае, когда вектор $\mu$ совпадает с вектором частот исходов равновероятной полиномиальной схемы с $N$ исходами и $n$ испытаниями, а также в предположении, что $\mu$ – случайное равновероятное решение уравнения $k_1+\ldots+k_N=n$ в целых неотрицательных числах $k_1,\dots,k_N$.