Распределение длины $m$-го максимального цикла случайной $A$-подстановки

Пусть $S_n$ – симметрическая группа подстановок степени $n$, $A$ – некоторое подмножество множества натуральных чисел $\mathbf N$ и $T_n=T_n(A)$ – совокупность всех подстановок из $S_n$, длины циклов которых принадлежат множеству $A$. Подстановки из $T_n$ принято называть $A$-подстановками. Рассматривается широкий класс множеств $A$ асимптотической плотности $\sigma>0$. В статье получены предельные распределения для $\mu_{m}(n)/n$ при $n\to\infty$ и фиксированном $m\in\mathbf N$, где $\mu_{m}(n)$ – длина $m$-го максимального цикла случайной подстановки, равномерно распределенной на $T_n$. Показано, что эти предельные распределения совпадают с предельными распределениями соответствующих функционалов от случайных подстановок из $S_n$ в известной неравновероятной модели Эвенса с параметром $\sigma$.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 05–01–00583, и программы Президента Российской Федерации поддержки ведущих научных школ, грант НШ-1758.2003.1.