О свойстве разложимости функций $k$-значной логики, связанном с суммированием $n$-зависимых случайных величин в конечной абелевой группе

Исследуется предельное поведение последовательности распределений случайных величин с значениями в конечной абелевой группе $(\Omega,\oplus)$, $\Omega=\{0,1,\dots,k-1\}$, представимых в виде
$$ \eta^{(N)}=f(\xi_1,\dots,\xi_n)\oplus f(\xi_2,\dots,\xi_{n+1})\oplus\ldots \oplus f(\xi_N,\dots,\xi_{N+n-1}), $$
где $\xi_1,\xi_2,\ldots$ – исходная последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с множеством значений $\Omega$, $f$ – $k$-значная функция от $n$ переменных, принимающая значения в $\Omega$. Показано, что предельное поведение последовательности распределений $\eta^{(N)}$ при $N\to\infty$ определяется минимальной подгруппой $H$ группы $(\Omega,\oplus)$, для которой при всех $x_1,\dots,x_n\in\Omega$ имеет место разложение
$$ f(x_1,\dots,x_n)\ominus f(0,\dots,0)\oplus H=g(x_1,\dots,x_{n-1})\ominus g(x_2,\dots,x_n)\oplus H $$
при некоторой $k$-значной функции $g$ от $n-1$ переменного, где $\ominus$ – операция вычитания в группе $(\Omega,\oplus)$. В терминах подгруппы $H$ и соответствующей ей функции $g$ описаны предельные точки последовательности распределений случайных величин $\eta^{(N)}$ и сходящиеся к ним последовательности.
Работа выполнена при поддержке программой Президента Российской Федерации поддержки ведущих научных школ, грант НШ-2358.2003.9.