Исследование особого ряда в проблеме Варинга–Гольдбаха со сдвинутыми простыми числами

Доказано, что для особого ряда $\mathfrak S(N)$ в асимптотической формуле для числа представлений достаточно большого натурального числа $N$, $N\equiv0\pmod4$, в виде суммы пяти квадратов сдвинутых простых чисел $p_i+1$ справедливо соотношение
$$ \mathfrak S(N)=\begin{cases}c(N),&N\equiv0\pmod4;\\0,&N\not\equiv0\pmod4,\end{cases}\qquad c(N)>2\prod_{p\ge7}\left(1-\frac{10}{\varphi^2(p)}\right). $$