Асимптотические разложения для распределения числа компонент в случайных отображениях и разбиениях

Рассматривается класс всех $n^n$ однозначных отображений $n$-элементного множества в себя. В предположении, что все такие отображения имеют одинаковые вероятности, равные $n^{-n}$, изучается распределение случайной величины $\nu_n$, равной числу компонент связности в случайно выбранном отображении. Выведены асимптотические оценки вероятности $\mathbf P\{\nu_n=N\}$ в предположении, что $n,N\to\infty$ так, что отношение $N/\ln n$ отграничено от нуля и бесконечности. В частном случае, когда $n,N\to\infty$ так, что $N=\frac12\ln n+o(\ln n)$, для этой вероятности получено полное асимптотическое разложение.
Аналогичное асимптотическое разложение выведено для $\mathbf P\{\xi_n=M\}$, где $\xi_n$ – случайная величина, равная числу циклов в подстановке, выбираемой случайно равновероятно из множества всех $n!$ подстановок степени $n$, а также для вероятности $\mathbf P\{\theta_n=N\}$, где $\theta_n$ – число блоков в случайном равновероятном разбиении $n$-элементного множества.