Проблема выразимости в решетке с замыканием

В статье рассматривается проблема выразимости элемента полной решетки с операцией замыкания. Устанавливаются условия, при которых данная проблема имеет решение в виде конечной нижней окрестности. Отдельно рассматривается наиболее важный для приложения случай полной решетки $\mathscr B(P)$ упорядоченных включением подмножеств множества $P$. Показывается, что существование конечной нижней окрестности для каждого порожденного замкнутого элемента этой решетки влечет финитарность операции замыкания в ней. В случае решетки $\mathscr B(P)$ с финитарным замыканием устанавливаются конструктивные достаточные условия существования для ее элемента конечной нижней окрестности. Тем самым обобщается теорема А. В. Кузнецова о функциональной полноте. Отдельно рассматривается случай замыкания Галуа, индуцированного некоторым соответствием Галуа между решетками подмножеств. В этом случае устанавливаются необходимые и достаточные условия существования конечной нижней окрестности элемента решетки. Этим наряду с теоремой А. В. Кузнецова обобщается и теорема С. В. Яблонского о предикатно описываемых классах функций конечнозначной логики. Попутно с проблемами выразимости в статье рассматривается возможность задания замкнутых элементов решетки $\mathscr B(P)$, в частности, элементов нижних окрестностей, конечными запрещающими множествами при некотором предупорядочении множества $P$, а в случае замыкания Галуа – конечными описаниями. Доказанные теоремы сопровождаются примерами их использования.