Предельная теорема для логарифма порядка случайной $A$-подстановки

Рассматривается случайная подстановка $\tau_n$, равномерно распределенная на множестве всех подстановок степени $n$, длины циклов которых принадлежат фиксированному множеству $A$ (так называемых $A$-подстановок). Предполагается, что множество $A$ имеет асимптотическую плотность $\sigma>0$, причем $|k\colon k\leq n,\ k\in A,\ m-k\in A|/n\to\sigma^2$ при $n\to\infty$ равномерно по $m\in[n,Cn]$ для произвольной постоянной $C>1$. Порядком подстановки называется минимальная степень, в которой она равна тождественной подстановке. Пусть $Z_n$ – порядок случайной подстановки $\tau_n$. В настоящей статье показано, что случайная величина $\ln Z_n$ асимптотически нормальна со средним $l(n)=\sum_{k\in A(n)}\ln(k)/k$ и дисперсией $\sigma\ln^3(n)/3$, где $A(n)=\{k\colon k\in A,\ k\leq n\}$. Полученный результат обобщает известную теорему П. Эрдёша и П. Турана, где рассматривается равномерное распределение на всей симметрической группе подстановок $S_n$ (то есть, при $A$, совпадающим с множеством натуральных чисел).
Работа написана при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 08–01–00563 и 10–01–00580).