Предельные распределения числа наборов, удовлетворяющих линейному соотношению

Пусть $X_1,\dots,X_T$ – совокупность независимых случайных элементов конечной абелевой группы $G$, имеющих на ней равномерное распределение. В работе найдены условия, при которых число упорядоченных наборов $(i_1,\dots,i_k)$ попарно различных чисел из $\{1,\dots,T\}$ таких, что $a_1X_{i_1}+\dots+a_kX_{i_k}=0$, где $a_1,\dots,a_k$ – фиксированные целые числа, имеет предельное пуассоновское распределение, когда $T\to\infty$ и группа $G$ изменяется вместе с $T$. Приведен также пример последовательности групп $G$, для которой предельное распределение числа наборов является сложным пуассоновским.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект 08–01–00078.