О рангах, классах Грина и теории определителей булевых матриц

Рассматривается группоид всевозможных матриц над произвольной булевой алгеброй с частичной операцией произведения матриц. На этом группоиде определяются классы эквивалентностей, аналогичные классам Грина $H,C,R,D,J$ для полугрупп. Вводится понятие минорного ранга булевой матрицы. Показывается, что столбцовые, строчные, факторизационные и минорные ранги являются инвариантами для $J$-класса этого группоида, причем минорные ранги не превосходят столбцовые, строчные, факторизационные и перманентные ранги.
Основной результат статьи объясняет роль булева определителя. Показано, что в некотором $J$-классе существует квадратная $n\times n$ матрица с ненулевым определителем тогда и только тогда, когда столбцовые, строчные, факторизационный и минорный ранги любой матрицы такого класса равны между собой и равны $n$. Все $n\times n$ матрицы этого $J$-класса имеют равные определители, а определители квадратных матриц большего размера равны нулю.