О существовании и единственности решений ОДУ с разрывной правой частью и ортогональных по Соболеву системах функций

В статье вводится понятие решения задачи Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений вида $ y'(x)=f(x,y),\quad y(0)=y_0, \quad 0\le x\le 1$, в которой правая часть $f=(f_1,\ldots,f_m)$ не обязательно непрерывна в области своего определения $G\subset\mathbb{R}^{m+1}$. Рассмотрены задачи о существовании и единственности решения задачи Коши. Для того, чтобы определить понятие решения задачи Коши для уравнения введен класс $AC^m[0,1]$, состоящий из всех абсолютно непрерывных вектор-функций $y=y(x)=(y_1(x),\ldots,y_m(x))$, заданных на $[0,1]$. Вектор-функция $y\in AC^m[0,1]$ называется решением задачи Коши, если имеет место равенство $y'(x)=f(x,y(x))$ для почти всех $x\in[0,1]$ и удовлетворяет условию $y(0)=y_0$. При рассмотрении вопросов, связанных с существованием и единственностью задачи Коши в смысле приведенного определения, ключевую роль играют системы функций, ортонормированные по Соболеву и порожденные заданной системой $\{\varphi_k(x)\}_{k=0}^\infty$, ортонормированной в весовом пространстве Лебега $L_\rho^2(0,1)$ с весом $\rho=\rho(x)$.