Алгоритм быстрого дискретного преобразования для сумм Фурье по ортогональным по Соболеву полиномам, порожденным полиномами Чебышева первого рода

Рассмотрена задача о численной реализации линейных комбинаций вида $S_N(x) =\sum\nolimits_{k=0}^{N-1}p_kT_{1,k+1}(x)$, где $T_{1,n}(x)$ $(n=0,1,\ldots)$ — ортогональные по Соболеву полиномы, порожденные полиномами Чебышева первого рода $T_{0} = 1 / \sqrt{2}$, $T_{n}(x)=\cos( n\arccos x)$ ($n \in \mathbb{N}$) посредством равенств $T_{1,0}=1$, $T_{1,n+1}(x) =\int_{-1}^x T_{n}(t)dt$ $(n=1,\ldots)$. Для решения этой задачи на сетке $x_j=\cos\frac{(2j+1)\pi}{2M}$ $(0\le j\le M-1)$ осуществлен ряд преобразований выражения $S_N(x)$, которые в итоге позволяют свести рассматриваемую задачу к применению быстрого дискретного преобразования Фурье. Разработаны соответствующий алгоритм и программа на языке C#. С их помощью проведены численные эксперименты, которые показывают, что алгоритм, основанный на быстром преобразовании значительно выигрывает в смысле скорости вычислений по сравнению с методом непосредственного вычисления суммы $S_N(x)$ пользуясь явным видом полиномов $T_{1,n}(x)$.