Приближение кусочно-линейных функций дискретными суммами Фурье

Пусть $N \geq 1$ — некоторое натуральное число. Выберем $N$ равномерно расположенных точек $t_k = 2\pi k / N$ $(0 \leq k \leq N - 1)$ на $[0,2\pi]$. Обозначим через $L_{n,N}(f)=L_{n,N}(f,x)$ $(1\leq n\leq N/2)$ тригонометрический полином порядка $n$, обладающий наименьшим квадратическим отклонением от $f$ относительно системы $\{t_k\}_{k=0}^{N-1}$. В данной статье рассмотрена проблема приближения функций полиномами $L_{n,N}(f,x)$. Особое внимание уделено приближению $2\pi$-периодических функций $f_1$ и $f_2$, где $f_1(x)=|x|$ и $f_2(x)=\mathrm{sign}\, x$ для $x \in [-\pi,\pi]$. Для функции $f_1$ вместо оценки $\left|f_{1}(x)-L_{n,N}(f_{1},x)\right| \leq c\ln n/n$, которая следует из известного неравенства Лебега для полиномов $L_{n,N}(f,x)$, найдена точная по порядку оценка $\left|f_{1}(x)-L_{n,N}(f_{1},x)\right| \leq c/n$ ($x \in \mathbb{R}$) равномерная относительно $1 \leq n \leq N/2$. Также была найдена локальная оценка $\left|f_{1}(x)-L_{n,N}(f_{1},x)\right| \leq c(\varepsilon)/n^2$ ($\left|x - \pi k\right| \geq \varepsilon$), которая также равномерна относительно $1 \leq n \leq N/2$. Для второй функции $f_2$ найдена только локальная оценка $\left|f_{2}(x)-L_{n,N}(f_{2},x)\right| \leq c(\varepsilon)/n$ ($\left|x - \pi k\right| \geq \varepsilon$), равномерная относительно $1 \leq n \leq N/2$. Доказательства этих оценок основаны на сравнении аппроксимативных свойств дискретных и непрерывных сумм Фурье.