Cauchy problem for the difference equation and Sobolev orthogonal functions on the finite grid, generated by discrete orthogonal functions

Рассматривается система функций ${\psi}_{1,n}(x, N)$ ($n=0,1,\ldots,$ $N$), ортонормированная по Соболеву и порожденная заданной ортонормированной на конечной сетке $\Omega_N=\left\{ 0,1,\ldots,N-1 \right\}$ системой функций ${\psi}_{n}(x,N)$ $( n=0,1,\ldots,N-1)$. Эта новая система является ортонормированной в смысле скалярного произведения следующего вида: $\langle f,g\rangle=$ $f(0)g(0)+ \sum_{j=0}^{N-1}\Delta f(j)\Delta g(j)\rho(j)$. Показано, что конечные ряды Фурье по системе функций ${\psi}_{1,n}(x, N)$ и их частичные суммы являются удобным и весьма эффективным инструментом приближенного решения задачи Коши для нелинейных разностных уравнений.