Approximation properties of Fourier sums for $2\pi$-periodic piecewise linear continuous functions

В различных областях приложений встречается задача приближения непрерывной функции $f = f(x) $, значения которой известны в узлах некоторой сетки $\Omega_m = \{\xi_i\}_{i=0}^{m}$. Наиболее часто для решения этой задачи применяют полиномиальный сплайн $l_m^r(x)$ заданной степени $r$, который в простейшем случае $r = 1$ представляет собой ломаную $l_m = l_m(x) = l_m^1(x)$, совпадающую в узлах сетки $\Omega_m$ с самой функцией $f$. В случае, когда количество узлов сетки велико, для хранения полученной ломаной $l_m$ требуется запомнить большой объём информации: $(\xi_0, y_0), \ldots, (\xi_m, y_m)$, где $y_i = f(\xi_i)$ $(i = 0, \ldots, m)$, в связи с чем возникает промежуточная задача о сжатии указанной информации таким образом, чтобы ломаную можно было восстановить в последующем с заданной точностью. Для решения этой задачи, как правило, применяют так называемый спектральный метод, основанный на разложении ломаной $l_m$ в ряд по выбранной ортонормированной системе и хранении минимального количества коэффициентов полученного разложения, которое обеспечивает восстановление $l_m$ с заданной точностью. В настоящей работе предпринята попытка решить эту задачу для $2\pi$-периодических непрерывных ломаных путём их разложения в тригонометрический ряд Фурье.