Некоторые специальные ряды по общим полиномам Лагерра и ряды Фурье по полиномам Лагерра, ортогональным по Соболеву

Рассмотрены некоторые специальные ряды по полиномам Лагерра и исследованы их аппроксимативные свойства. В частности, получена верхняя оценка для функции Лебега частичных сумм введённого специального ряда по полиномам Лагерра. Введены и исследованы полиномы $ l_{r,k}^\alpha(x)$ $(k=0,1,\ldots)$, ортонормированные по Соболеву относительно скалярного произведения
\begin{equation*} <f,g>=\sum_{\nu=0}^{r-1}f^{(\nu)}(0)g^{(\nu)}(0)+\int_0^\infty f^{(r)}(t)g^{(r)}(t)t^\alpha e^{-t}dt, \end{equation*}
порожденные классическими ортогональными многочленами Лагерра $L_k^{\alpha}(x)$ $(k=0,1,\ldots)$. Получены представления полиномов $ l^\alpha_{r,k}(x)$ в виде некоторых выражений, содержащих многочлены Лагерра $L_n^{\alpha-r}(x)$. Установлен явный вид полиномов $ l^\alpha_{r,k+r}(x)$, представляющий собой разложение по степеням $x^{r+l}$ c $l=0,\ldots,k$. Эти результаты могут быть использованы при исследовании асимптотических свойств полиномов $l^\alpha_{r,k}(x)$ при $k\to\infty$ и аппроксимативных свойств частичных сумм рядов Фурье по этим полиномам. Показано, что ряд Фурье по полиномам $l^\alpha_{r,k}(x)$ совпадает со смешанным рядом по полиномам Лагерра, введенным и исследованным автором ранее. Кроме того показано, что если $\alpha=0$, то смешанные ряды по полиномам Лагерра и, как следствие, ряд Фурье по полиномам $l^0_{r,k}(x)$ представляют собой частные случаи специальных рядов, введенных в настоящей работе.