О полноте некоторых систем функций

Рассматриваются линейно независимые системы
\begin{equation} \{\ln r(x_i,y\},\quad\biggl\{\frac{\partial}{\partial n_y}\ln r(x_i,y)\biggr\}\quad(i=1,2,\dots),\tag{1} \label{1} \end{equation}
где $x_i$ расположены равномерно на окружности $S_1$, $y\in S$; $S$ и $S_1$ – концентрические окружности.
В работе доказано, что системы \eqref{1} не сильно минимальны. Рассмотрены системы \eqref{1} при $x_i\in S$, $y\in S$, где $S$ кусочно-гладкая замкнутая кривая. Доказано, что если $x_i$ расположены всюду плотно на $S$, то системы \eqref{1} разрывных потенциальных функций (второй системе \eqref{1} надо добавить произвольную отличную от нуля постоянную) линейно независимы и полны в $L_2(S)$. Относительно системы
\begin{equation} \biggl\{\frac1{r(x_i,y)}\biggr\}\quad(i=1,2,\dots),\tag{2} \label{2} \end{equation}
где $x_i\in S$, $y\in S$, $S$ – замкнутая поверхность, пространственных разрывных потенциальных функций, доказано, что при всюду плотном на $S$ расположении точек $x_i$ система \eqref{2} замкнута в $L_p(S)$ для $p=2-\alpha$ при любом $\alpha>0$, и, следовательно, полна в $L_{p'}(S)$ $\bigl(p'=\frac{2-\alpha}{1-\alpha}\bigr)$.
Библиографий 10.