Теория интегралов Макдональда. II. Асимптотические разложения

Статья является продолжением статьи автора [1] и посвящается выводу двух типов асимптотических разложений интегралов Макдональда $n$-го порядка $M_n(x,y)$. Два разложения первого типа являются асимптотическими при $|y|\sqrt{1+x^2}\to\infty$. Первое разложение – разложение по асимптотической последовательности $(H^1_{m+\alpha}(y\sqrt{1+x^2})/(y\sqrt{1+x^2})^m)_{m\in N}$, где $H^{(1)}_\nu(z)$ – функция Ханкеля первого рода; $\alpha$ – действительное число; $N$ – множество натуральных чисел. Второе асимптотическое разложение первого типа – разложение по асимптотической последовательности $((y\sqrt{1+x^2})^{-m})_{m\in N}$, вытекающее из первого. Оба разложения равномерны по $x$ при $|x|\ge\varepsilon>0$, где $\varepsilon$ – произвольно малое число. Асимптотическое разложение второго типа справедливо при $|y|\to\infty$ и в случае, когда параметр $y(\sqrt{1+x^2}-1)$ остается конечным при $|y|\to\infty$, т. е. $x$ должно при этом стремиться к нулю так, чтобы выражение $y(\sqrt{1+x^2}-1)$ оставалось конечным. Приводимое разложение второго типа – разложение по асимптотической последовательности $(y^{-m})_{m\in N}$.
Библиографий 4.