Нелинейные дифференциальные уравнения в пространстве Банаха, близкие к линейным

В статье изучаются показатели экспоненциального роста решений уравнений
\begin{gather}\frac{dx}{dt}=Ax,\tag{1}\\\frac{dx}{dt}=Ax+h(x,t),\tag{2}\end{gather}
где $A$ – линейный неограниченный оператор в комплексном пространстве Банаха; $X$, $h(x,t)$ – нелинейность. Предполагается, что оператор $A$ есть производящий для полугруппы $e^{At}$, сильно непрерывной при $t\ge0$. Если $S(A)$ множество конечных показателей решений (1), a $e^{At}$ обладает свойством $e^{A\xi_0}X\subset D(A)$ при некотором $\xi_0>0$, и $R(\lambda;A)$ растет не быстрее степени, то имеет место следующий результат: $S(A)\subset\operatorname{Re}\sigma(A)$ и если $\xi$ – изолированная точка $\operatorname{Re}\sigma(A)$, то $\xi\in S(A)$. Здесь $\operatorname{Re}\sigma(A)$ – совокупность действительных частей точек спектра $A$.
Более точные результаты получаются, если предполагать $A$ оператором скалярного типа.
Изучается связь показателей решений (1) и (2) и условия их близости в предположении, что оператор $A$ есть производящий для аналитической полугруппы, а $h(x,t)$ подчинено некоторым условиям. Главный результат этой части работы дается теоремой:
Для любых $\varepsilon>0$, $T>0$, найдется $\delta=\delta(\varepsilon,T)>0$ такое, что если
$$\int_{t_0}^t\frac{e^{\varepsilon(\tau-t)}\gamma(\tau)}{(t-\tau)^\alpha}\,d\tau+\int_t^\infty e^{\varepsilon(t-\tau)}\gamma(\tau)\,d\tau<\delta,\quad t>t_0,$$
то показатель любого решения (2) либо не превосходит $b-T$, $b=\sup\operatorname{Re}\sigma(A)$, либо отстоит от $\operatorname{Re}\sigma(A)$ на расстоянии, не больше $\varepsilon$.
Библиографий 12.