О решении сингулярных задач Коши в базисных рядах

В работе изучается сингулярная задача Коши для обобщенного волнового уравнения
\begin{equation}\tag{1} z_{xx}=z_{ss}+\frac{a}{s}z_s+b^2z,\quad z(x,0)=\tau(x),\quad \tau_s(x,0)=0.\end{equation}
С помощью интегрального представления ее решения автор строит для $z(x,\lambda s;a,b)$, $\lambda=\operatorname{const}$, разложения в базисные ряды двух типов:
\begin{gather} z(x,\lambda s;a_2,b)=\sum_{n=0}^\infty A_n(\lambda,s)D_x^{2n}z(x,s;a_1+4n,0),\tag{2a}\\ z(x,\lambda s;a_2,b)=\sum_{n=0}^\infty\overline{A}_n(\lambda,s)D_x^{2n}z(x,s;a_1+2n,0).\tag{2b} \end{gather}
Рассматриваются случаи, когда конфлюэнтные гипергеометрические функции Горна $\Xi_2(\sigma,\beta,\gamma;x,y)$, входящие в $A_n(\lambda,s)$ и $\overline{A}_n(\lambda,s)$, вырождаются в полиномы Якоби и Гегенбауэра, а также случай вырождения $\Xi$ в функции Бесселя, где (2a) дает теорему сложения для $z(x,s;a,b)$ по параметру $b$. В аналогичных базисных рядах решается неоднородная сингулярная задача Коши
\begin{gather} u_{xx}=u_{ss}+\frac{a}{s}u_s+\frac{c}{s^2}u-\frac{c}{s^2}\tau(x),\quad u(x,0)=\tau(x),\tag{3}\\ u_s(x,0)=0.\notag\end{gather}
Исследуются также конфлюэнтные начальные проблемы, возникающие из (1) и (3) при одновременном росте параметров а, с и аргумента $s$. Результаты, полученные при рассмотрении задач (1) и (3), используются для построения алгорифмов эффективного решения более сложной сингулярной проблемы Коши, связанной с уравнением С. А. Чаплыгина
\begin{equation} \tag{4} u_{xx}=u_{ss}+B(s)u_s,\quad u(x,0)=\tau(x),\quad u_s(x,0)=0. \end{equation}
Разыскивая $u(x,s;B)$ в форме базисных рядов, сходных с (2a) и (2b), автор приходит для коэффициентов $A_n(s)$ этих рядов к рекуррентной последовательности обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которая решается затем эксплицитно (в квадратурах). С помощью найденных ортогональных разложений по полиномам Якоби, Гегенбауэра, а в конфлюэнтных случаях по многочленам Лагерра и Эрмита строятся в интегральной форме разрешающие операторы проблем (3), (4), а также операторы преобразования, переводящие $z(x,s;a,0)$ в $u(x,s;a,c)$ и $u(x,s;B)$. Полученные результаты применяются к выводу функциональных соотношений для гипергеометрических рядов с одной и двумя аргументами, функций Ломмеля, Струве и других высших трансцендентных функций, а также к обобщению на случай (4) автомодельных интегралов уравнения Эйлера–Пуассона. Наряду с этим в работе получаются в виде гипергеометрических рядов Горна $H_2(\alpha,\beta,\gamma;\delta;\varepsilon;x,y)$ функции Грина–Адамара двух сингулярных задач Трикоми для уравнения с двумя линиями вырождения, которые дают возможность свести решения этих задач к квадратурам.
Библиографий 14.