Предел решения волнового уравнения для неоднородной среды при $t\to\infty$

Исследуется нестационарная задача
\begin{equation} u_{xx}=k^2(x)u_{tt},\tag{1} \label{1} \end{equation}
где $k(x)=k_0$, $x<0$; $k(x)=k_1$, $x>x_0$ при начальном условии
$$u_0(x,t)\mu(t-k_0x),t<0\quad\mu(z)=0\quad z<0.$$
Показывается, что при условии $\operatorname{var}\ln k(x)<\pi$ предел решения уравнения \eqref{1} при $t\to\infty$ для случая падающей волны вида
$$u_0(x,t)=\mu(t-k_0x),\quad\mu(z)=\mu_0,\quad z>z_0.$$
равен $\lim_{t\to\infty}u(x,t)=\frac{2\mu_0k_0}{k_0+k_1}$, т. е. предел такой же, как в случае $k(x)=k_0$, $x<0$; $k(x)=k_1$, $x>0$. Этот результат обобщается на случай $\lim_{x\to-\infty}k(x)=k_0$; $\lim_{x\to+\infty}k(x)=k_1$. Раньше Аткинсоном получен аналогичный результат для стационарной задачи
$$u_{xx}=k^2(x)u=0,\quad\operatorname{var}\ln k(x)\le\pi.$$
.
Иллюстраций 2. Библиографий 2.