Минимизация за произвольный достаточно большой промежуток времени $T$ интеграла от модуля производной производимого смещением граничного управления, возведенного в произвольную степень $p\ge1$

Установлено, что при любом $p\ge1$ и при каждом $T=2ln+\Delta$, где $n=1,2,\dots,$ а $\Delta$ – произвольное вещественное число из промежутка $(0,2l]$, оптимальное граничное управление на левом конце $u(0,t)=\mu(t)$, которое при закрепленном правом конце $u(l,t)=0$ переводит процесс колебаний струны из произвольно заданного начального состояния
$$\{u(x,0)=\varphi(x),u_t(x,0)=\psi(x)\}$$
в произвольно заданное финальное состояние
$$\{u(x,T)=\hat\varphi(x),u_t(x,T)=\hat\psi(x)\}$$
и доставляет минимум интегралу
$$\int_0^T|\mu'(t)|^p\,dt,$$
равно на сегменте $[0,T]$ сумме двух слагаемых
$$\mu(t)=L(t)+\alpha(t),$$
первое из которых при условии, что $\varphi(x)$, $\psi(x)$, $\hat\varphi(x)$ и $\hat\psi(x)$ продолжены нечетно с сегмента $[0,l]$ на сегмент $[l,2l]$ и при
$$F(x)=\begin{cases}\dfrac1{2(n+1)}[\hat\varphi'(x-\Delta+2l)-\varphi'(x)+\hat\psi(x-\Delta+2l)-\psi(x)]&\text{при}\quad0\le x<\Delta,\\\dfrac1{2n}[\hat\varphi'(x-\Delta)-\varphi'(x)+\hat\psi(x-\Delta)-\psi(x)] &\text{при}\quad0\le x\le 2l, \end{cases}$$
является линейной функцией вида
$$L(t)=\varphi(0)-\biggl[\frac1{2l}\int_0^{2l}F(\xi)\,d\xi\biggr]t,$$
а второе из которых $\alpha(t)$ является периодической функцией периода $2l$ и определяется равенством
$$\alpha(2lm+x)=\frac x{2l}\int_0^{2l}F(\xi)\,d\xi-\int_0^xF(\xi)\,d\xi$$
при всех $0\le x\le\Delta$ и $m=0,1,2,\dots,n$ и при всех $0\le x\le2l$ и $m=0,1,2,\dots,n-1$.
Библиогр. 10 назв.