Ослабленное на оси классическое решение центрально-симметрической смешанной задачи для трехмерного гиперболического уравнения четного порядка в пространствах Гёльдера

Рассматривается центрально-симметрическая трехмерная смешанная задача
$$ \prod_{k=1}^m\left(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-a_k^2\Delta_r\right)u+F(u;r,t)=0,\quad \frac{\partial^lu(r,0)}{\partial t^l}=\varphi_l(r),\quad\left(\frac{\partial}{\partial r}+\frac1R\right)\Delta_r^ku(R,t)=0, $$
где $0\le l\le 2m-1$, $0\le k\le m-1$, коэффициенты $a_n^2$ различны, $\Delta_ru=u_{rr}+ (2/r)u_r$, $F(u;r,t)$ – линейное дифференциальное выражение от $u$ и производных $\partial^l\Delta_r^qu/\partial t^l$ до порядка $2m-2$ с достаточно гладкими коэффициентами. Доказывается, что ослабленное на оси $r=0$ классическое решение этой задачи существует, принадлежит пространству Гёльдера $C_\alpha^{2m}((0,R]\times[0,T])$ с показателем $0<\alpha<1$ и удовлетворяет условиям
$$ \sup_{\substack{0\le t\le T\\0\le r\le R}}\biggl|r^{1-\alpha}\frac{\partial^{2m-2n}\Delta^n_ru}{\partial t^{2m-2n-1}\partial r}\biggr|<\infty,\quad\sup_{\substack{0\leq t\le T\\0\le r\le R}} \biggl|r^{1-\alpha}\frac{\partial^{2m-2n}\Delta^n_ru}{\partial t^{2m-2n}}\biggr|<\infty,\quad n\le m, $$
тогда и только тогда, когда $\varphi_l\in C^{2m-1}_\alpha(0,R]$, $\Delta^n_r\varphi_l\in C^{\min\{2m-1-2n-l,2\}}[0,R]$, $l+2n\le 2m-1$, $(d/dr+1/R)\Delta^n_r\varphi_l(R)=0$ ($l+2n\le 2m$) и
$$ \sup_{0\le r\le R}\bigl|r^{1-\alpha}\Delta^n_r\varphi_{2m-2n}(r)\bigr|<\infty,\quad\sup_{0\le r\le R}\biggl|r^{1-\alpha}\frac{d}{dr}\Delta^n_r\varphi_{2m-2n-1}(r)\biggr|<\infty. $$

Библиогр. 7 назв.