О малости возмущений, сохраняющих неизменным старший показатель линейной дифференциальной системы

Пусть $\lambda_n(A)$ – старший характеристический показатель линейной дифференциальной системы
\begin{equation} \dot x=A(t)x,\quad x\in R^n,\quad t\ge0,\label{1} \end{equation}
с кусочно-непрерывной матрицей коэффициентов, имеющей норму $\|A(t)\|\le a<+\infty$ при $t\ge0$, а величина
$$ \sigma_n(A)\equiv\inf\{\sigma>0:\sup_{\lambda[Q]\le{-\sigma}}\lambda_n(A+Q)=\lambda_n(A)\} $$
– его левая граница инвариантности относительно возмущений $Q$ с показателем Ляпунова $\lambda[Q]\le{-\sigma}$.
Доказано, что числа $\sigma_1\ge0$, $\sigma_n\ge0$ и $a>0$ тогда и только тогда являются коэффициентом неправильности Гробмана [РЖМат, 1967, 4Б226К] $\sigma_{\text Г}(A)=\sigma_1$, левой границей $\sigma_n(A)=\sigma_n$ инвариантности старшего показателя и нормой $a\ge\sup_{t\ge0}\|A(t)\|$ матрицы коэффициентов некоторой линейной системы \eqref{1}, когда они удовлетворяют условиям $2a>\sigma_1\ge\sigma_n\ge0$, $2a=\sigma_1>\sigma_n=0$.
Библиогр. 5 назв.