Точная граница подвижности вверх старшего показателя линейной системы при возмущениях, малых в среднем с весом

Рассматривается возмущенная система
\begin{equation} \dot y=A(t)y+Q(t)y,\quad y\in\mathbb R^n,\quad t\ge0,\label{1} \end{equation}
с кусочно-непрерывной ограниченной матрицей коэффициентов $A$ и кусочно-непрерывной интегрально ограниченной матрицей возмущений $Q$. Доказано, что если возмущения $Q$ удовлетворяют условию $\lim_{t\to+\infty}t^{-1}\int_0^t\varphi(\tau)\|Q(\tau)\|\,d\tau=0$, где $\varphi(t)$ – положительная возрастающая к $+\infty$ кусочно-непрерывная функция, определенная на промежутке $[0,+\infty[$, то для старшего показателя $\lambda_n(A+Q)$ системы \eqref{1} справедливо равенство $\sup_Q\lambda_n(A+Q)=\overline{\lim}_{m\to\infty}m^{-1}\ln\eta_m$, где последовательность $\eta_m$ определяется рекуррентным соотношением $\eta_m=\max_{k<m}(\|X(m,k)\|\varphi^{-1}(k)\eta_k)$ при $m>1$, $k\in\mathbb N$, с произвольным начальным условием $\eta_1>0$, а $X(m,k)$ – матрица Коши системы \eqref{1} без возмущений, т.е. при $Q(t)\equiv0$.
Библиогр. 12 назв.