Об оценке сверху для старшего показателя линейной дифференциальной системы с интегрируемыми на полуоси возмущениями

Рассматривается возмущенная система
\begin{equation} \dot y=A(t)y+Q(t)y,\quad y\in\mathbb R^n,\quad t\ge0,\label{1} \end{equation}
с кусочно-непрерывной ограниченной матрицей коэффициентов $A$ и кусочно-непрерывной интегрально ограниченной матрицей возмущений $Q$.
Доказано, что если положительная функция $\beta$, определенная на множестве $\mathbb N_0$, удовлетворяет условию $\overline\lim_{m\to\infty}m^{-1}\sum_{k=0}^{m-1}\beta^{-1}(k)\int_k^{k+1}Q(t)\,dt=0$, где $X(t,\tau)$ – матрица Коши системы \eqref{1} без возмущений, т.е. при $Q(t)=0$, то для старшего показателя системы \eqref{1} выполняется оценка $\lambda_n(A+Q)\le\overline\lim_{m\to\infty}m^{-1}\ln\eta_m$, где последовательность $\eta_m$ определяется рекуррентным соотношением $\eta_m=\max_{k<m}(\|X(m,k)\|\beta(k)\eta_k)$ с произвольным начальным условием $\eta_1>0$, причем величина $\overline\lim_{m\to\infty}m^{-1}\ln\eta_m$ не зависит от выбора $\eta_1$.
Показано, что эта оценка является достижимой в классе возмущений, удовлетворяющих условию $\int_0^\infty\varphi(t)\|Q(t)\|\,dt<+\infty$, $\varphi\uparrow+\infty$, при $\beta(0)=1$, $\beta(k)=k^{-1}\varphi(k)^{-1}$, $k\in\mathbb N$, и в классе возмущений, удовлетворяющих условию $\int_0^\infty\|Q(t)\|^p\,dt<+\infty$, $p>1$, при $\beta(0)=1$, $\beta(k)=k^{-1/p}$, $k\in\mathbb N$.
Библиогр. 13 назв.