О малом стабилизирующем возмущении сингулярного дифференциального уравнения с постоянным оператором и вырождающимся коэффициентом общего вида

В банаховом пространстве $E$ уравнение $\varphi(t)x'(t)=Ax(t)+f(t)$, $0<t<\infty$, с постоянным неограниченным оператором $A\colon\mathcal D(A)\subset E\to E$, $\overline{\mathcal D(A)}=E$, $f(t)\in C([0,\infty);E)$, $\varphi(t)\in C((0,\infty);(0,\infty))$, $\varphi(+0)=0$, стабилизируется малым положительным параметром $\varepsilon\in(0,\varepsilon_0]:\varphi(t+\varepsilon)x'_\varepsilon(t)=Ax_\varepsilon(t)+f(t)$, $0\le t<\infty$, $x_\varepsilon(0)=x_{\varepsilon,0}$, $x_{\varepsilon,0}\in\mathcal D(A)$. Пусть $A$ – производящий оператор полугруппы $U(t)$ класса $C_0$; $f(t)\in\mathcal D(A)$, $0\le t<\infty$; $Af(t)\in C([0,\infty);E)$; при $t\to+0$ $\varphi(t)\sim Kt^\alpha$, где $K>0$, $\alpha\in R$, $\alpha\ge1$; $\omega<0$ в случае $\alpha>1$, $\omega<-K$ в случае $\alpha=1$ ($\omega$ – тип полугруппы $U(t)$); $\|x_{\varepsilon,0}\|\le L\varepsilon^{-\beta}$, где $L>0$, $0<\beta\le\alpha$. Тогда $\lim_{\varepsilon\to0}x_\varepsilon(t)=x_0(t)$, $0<t<\infty$, и предельная функция $x_0(t)$ является ограниченным при $t\to+0$ решением приведенного выше уравнения.
Библиогр. 4 назв.