Об эффективных условиях разрешимости вариационных задач

Рассматривается задача минимизации функционалов вида $J(x)=\int_a^bf(t,(T_1x)(t),\dots,(T_mx)(t))\,dt$ с ограничением $rx=\alpha$, где $r=(r^1,\dots,r^n)$ – линейный вектор-функционал, $T_i$ – линейные операторы. Метод исследования основан на редукции этой задачи к задаче минимизации вспомогательного функционала в пространстве функций с суммируемым квадратом $\mathbf L_2$. Для этой задачи применимы обобщенные теоремы Ферма и Вейерштрасса и в явном виде записывается аналог уравнения Эйлера – функционально-дифференциальное уравнение $N(x)=0$. Основной результат состоит в том, что функция $x_0$ доставляет минимум функционалу $J$ с ограничением $rx=\alpha$, если она удовлетворяет краевой задаче $N(x)=0$, $rx=\alpha$, и сильно положительно определен линейный оператор $H_{x_0}\colon\mathbf L_2\to\mathbf L_2$, который также вычисляется в явном виде. В случае разрешимости краевой задачи $N(x)=0$, $rx=\alpha$ устанавливается факт существования и единственности минимума функционала на некотором выпуклом и замкнутом множестве. Для широкого класса задач сформулированы проверяемые достаточные условия существования минимума. Приводятся примеры.
Библиогр. 8 назв.