Ослабленное на оси классическое решение центрально-симметрической смешанной задачи для трехмерного гиперболического уравнения в пространствах Гёльдера

Доказывается, что ослабленное на оси $r=0$ классическое в $C^2((0,R]\times[0,T])$ решение задачи $u_{tt}-\Delta_ru+q(r,t)u=0$, $u(r,0)=\varphi(r)$, $u_t(r,0)=\psi(r)$, $u(R,t)=0$, где $\Delta_ru=u_{rr}+(2/r)u_r$, $q_r\in C_\alpha([0,R]\times[0,T])$ и обращается в нуль при $r\to0$ и $r\to R$ как $r^\alpha$ и $(R-r)^\alpha$ соответственно, принадлежит пространству Гёльдера $C^2_\alpha((0,R]\times[0,T])$ с показателем $0<\alpha\leq1$ и удовлетворяет условиям
$$ \sup_{0\le r\le R,0\le t\le T}|r^{1-\alpha}\Delta_ru(r,t)|<\infty, \quad \sup_{0\leq r\le R,0\le t\le T}|r^{1-\alpha}\partial^2u/\partial r \partial t|<\infty $$
тогда и только тогда, когда $\varphi\in C^2_\alpha(0,R]$, $\psi\in C^1_\alpha(0,R)$, $\varphi(R)=\varphi''(R)=0$ и $\sup\limits_{0\leq r\le R}|r^{1-\alpha}\Delta_r\varphi(r)|<\infty$, $\sup\limits_{0\le r\le R}|r^{1-\alpha}\psi'(r)|<\infty$.