Устойчивость периодического решения нелинейного дифференциального уравнения с запаздыванием

Рассматривается нелинейное скалярное дифференциальное уравнение с запаздыванием
$$dx(t)/dt=-\alpha f(x(t-1)), $$
где $\alpha$ – положительный параметр, $f$ – трижды непрерывно дифференцируемая функция на числовой оси, антисимметрическая $f(-x)=-f(x)$ и удовлетворяющая условию $f'(x)>0$ при $x\in(-\infty,+\infty)$. Для каждого $\alpha>\pi/(2f'(0))$ существует единственное антисимметрическое периодическое решение $x_0(t,\alpha)$ этого уравнения, удовлетворяющее условию $x_0(t+2,\alpha)=-x_0(t,\alpha)$, $t\in(-\infty,+\infty)$, если выполняется неравенство $f^2(x)-2f'(x)\int_0^xf(y)\,dy>0$, $x>0$. Предложен новый метод исследования такого решения на устойчивость, связанный с изучением спектра оператора монодромии для уравнения возмущенного движения в линейном приближении $\dot y(t)=-\alpha f'(x_0(t-1,\alpha))y(t-1)$. Показано, что при дополнительном условии $f'''(0)\ne0$ периодическое решение исходного уравнения устойчиво при всех $\alpha>\pi/(2f'(0))$.
Библиогр. 10 назв.