Об одном обобщении фундаментальной системы функций оператора Лапласа

Рассматривается обобщение известного понятия фундаментальной в области $\Omega\subseteq\mathbb R^N$, $N\ge2$, системы функций $\{u_n(x)\}$ оператора Лапласа, введенного В. А. Ильиным, состоящее в замене ортонормированности более слабым условием $C^{-2}|\varphi|^2\le\sum_n(\varphi,u_n)^2\le C^2|\varphi|^2$, $\varphi(x)\in L_2(\Omega)$. Установлены оценки сверху для $\theta_m(x,\lambda)=\sum_{\lambda_n<\lambda}[u_n^{(m)}(x)]^2$, $x\in\Omega$, где $u^{(m)}$, $m\ge0$, обозначает любую из частных производных $m$-го порядка функции $u$. В частности, доказана сходимость в $\Omega$ ряда $\sum_{\lambda_n\ge1}\lambda_n^{-\alpha}[u_n^{(m)}(x)]^2$, $\alpha>N/2+m$. Библиогр. 8 назв.