Антиподальные графы Крейна и близкие к ним дистанционно регулярные графы

Антиподальный недвудольный дистанционно регулярный граф $\Gamma$ диаметра 3 имеет массив пересечений $\{k,(r-1)c_2,1;1,c_2,k\}$ ($c_2<k-1$) и собственные значения $k,n,-1,-m$, где $n,-m$ – корни квадратного уравнения $x^2-(a_1-c_2)x-k=0$. Граница Крейна $q^3_{33}\geq0$ влечет $m\leq n^2$, если $r\neq2$. В случае $m=n^2$, следуя Годсилу, назовем $\Gamma$ антиподальным графом Крейна. Точечному графу $\Sigma$ обобщенного четырехугольника $GQ(q,q^2)$, имеющего спред, отвечает антиподальный граф Крейна с $r=q+1$. Если $\Sigma$ имеет автоморфизм $\sigma$ порядка $f$, фиксирующий каждую компоненту спреда, то граф $\overline\Sigma=\Sigma/\langle\sigma\rangle$, вершинами которого являются $\sigma$-орбиты на множестве точек, и две орбиты смежны, если некоторая вершина одной из них смежна с вершиной другой, является дистанционно регулярным с массивом пересечений $\{q^3,((q+1)/(f-1)(q^2-1)f,1;1,(q^2-1)f,q^3\}$, в котором окрестность $\Delta$ любой вершины является псевдогеометрическим графом для $pG_{f-1}(q-1,(q+1)(f-1))$. При $f=2$ получим псевдогеометрический граф для $GQ(q-1,q+1)$. Отсюда следует, что локально псевдо $GQ(4,6)$-граф с массивом пересечений $\{125,96,1;1,48,125\}$ и локально псевдо $GQ(4,8)$-граф с массивом пересечений $\{343,288,1;1,96,343\}$ существуют.